Question

【题目】已知直线y=x+3与两坐标轴分别相交于A、B两点，若点P、Q分别是线段AB、OB上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与O、B重合．

（1）若OP⊥AB于点P，△OPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？请直接写出相应的OQ的长；

（2）当点P是AB的中点时，若△OPQ与△ABO相似，这时满足条件的点Q有几个？请分别求出相应的OQ的长；

（3）试探究是否存在以点P为直角顶点的Rt△OPQ？若存在，求出相应的OQ的范围，并求出OQ取最小值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 点Q有三个，OQ的长为2或或 ；(2) 2个，OQ的长为2或；(3)存在，OQ取最小值时点P的坐标（，）．

【解析】

试题分析：（1）如图1中，满足条件的点Q有三个，分三种情形讨论即可①QO=QP，②OP=OQ，③PO=PQ．

（2）如图2中，满足条件的点Q有2个．作⊥OB于，⊥OP于，可以证明、满足条件，理由相似三角形的性质即可解决问题．

（3）存在．以OQ为直径作⊙G，当⊙G与AB相切于点P时，∠OPQ=90°，此时OQ的值最小．由此求出OQ，即可解决问题．

试题解析：（1）如图1中，满足条件的点Q有三个．

理由：作PM⊥OB于M，作OP的垂直平分线交OP于F，交OB于．则=，△是等腰三角形，此时=OB=2．

∵A（0，3），B（4，0），

∴OA=3，OB=4，AB=5，

∵OP⊥AB，

∴OAOB=ABOP，

∴OP==，

当=OP时，△是等腰三角形，此时=，

当PO=时，∵PM⊥，

∴=2OM，

∵∠POM=∠，∠PMO=∠OPB，

∴△OPM∽△OBP，

∴=OMOB，

∴OM=，

∴=.

综上所述，△OPQ为等腰三角形时，满足条件的点Q有三个，OQ的长为2或或．

（2）如图2中，满足条件的点Q有2个．

理由：作⊥OB于，⊥OP于，

∵PA=PB，∠AOB=90°，

∴PA=PB=PO，

∴∠=∠ABO，∵∠=∠AOB，

∴△∽△BAO，

∵PA=PB，∥OA，

∴==OB=2，

∵∠=∠ABO，∠=∠AOB，

∴△∽△BOA，

∴，

∴，

∴=，

综上所述，△OPQ与△ABO相似时，满足条件的点Q有2个，OQ的长为2或．

（3）存在．理由如下：

如图3中，以OQ为直径作⊙G，当⊙G与AB相切于点P时，∠OPQ=90°，此时OQ的值最小．

∴设OG=GP=r，

∵AO=AP=3，

∴PB=AB=AP=2，

在Rt△PBG中，∵∠GPB=90°，PG=r，BG=4﹣r，PB=2，

∴，

∴r=，

∴OQ=2r=3，

∴当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．

作PM⊥OB于M．

∵PM∥OA，

∴，

∴，

∴PM=，BM=，

∴OM=4﹣=，

∴OQ取最小值时点P的坐标（，）．