Question

【题目】问题背景：在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连结AF、BE．

特例探究：如图①，若△ADE与△DCF均为等边三角形，试判断线段AF与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；

拓展应用：如图②，在△ADE与△DCF中，AE=DF，ED=FC，且BE=4，则四边形ABFE的面积为 ．

Answer 1

【答案】(1) 特例探究：AF=BE，AF⊥BE．理由见解析；（2）拓展应用：8.

【解析】

试题分析: 特例探究：易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE；

拓展应用：首先证得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性质可得∠DAE=∠CDF，易得△BAE≌△ADF，可得AE=AF，同特例探究可得AF⊥BE，易得四边形ABFE的面积为：．

试题解析：特例探究：AF=BE，AF⊥BE．

∵四边形ABCD为正方形，△ADE与△DCF均为等边三角形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC，AE=AD=CD=DF，∠DAE=∠CDF，

∴∠BAD+∠DAE=∠ADC+∠CDF，即∠BAE=∠ADF，

在△ABE与△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAF=90°，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴AF⊥BE；

拓展应用：在△ADE与△CDF中，

∵，

∴△ADE≌△CDF（SSS），

∴∠DAE=∠CDF，∠ADF=∠ADC+∠CDF=90°+∠CDF，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+∠EAD，

∴∠ADF=∠BAE，

在△ABE与△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAF=90°，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴AF⊥BE，

∴S四边形ABFE==×4×4=8．