Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．

（1）判断MN与AC的位置关系；

（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；

（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）MN∥AC；

（2）线段MN所扫过区域的面积为12；

（3）当t=5或6或时，△DMN为等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）利用三角形中位线证明即可；

（2）分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积求解即可；

（3）分三种情况：①当MD=MN=3时，②当MD=DN，③当DN=MN时，分别求解△DMN为等腰三角形即可．

试题解析：（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，

∴MN∥AC；

（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，

根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积，

∵AC=6，BC=8，

∴AE=3，GC=4，

∵∠ACB=90°，

∴S四边形AFGE=AEGC=3×4=12，

∴线段MN所扫过区域的面积为12．

（3）据题意可知：MD=AD，DN=DC，MN=AC=3，

①当MD=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，

∴t=6，

②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=AC=3，

∵cosA=，

∴，解得AD=5，

∴AD=t=5．

③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，

∵cosA=，即，

∴AM=，

∴AD=t=2AM=，

综上所述，当t=5或6或时，△DMN为等腰三角形．