Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）AC＝　 　cm；

（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；

（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）3；（2）t的值为或5s；（3）当t＝或3或或6s时，△ACP为等腰三角形．

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；（2）作∠ABC的平分线与AC的交点确定点P，利用全等得PC=PD，再用勾股定理求得PC的长，点P的运动路线长即可求出，由此解得t值（3）分四种情况，找到P点，即可求出t的值.

解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，

∴AC==3cm.

（2）如图，过P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，

∴PD＝PC，

又∵BP=BP,

∴Rt△BDP≌Rt△BCP，

∴BD＝BC＝4，

∴AD＝5﹣4＝1，

设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，

在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，

∴12+y2＝（3﹣y）2，

解得y＝，

∴CP＝，

∴t＝5+4+=；

当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，

此时，t=5；

综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或5s；

（3）分四种情况：

①如图①，当AP=CP时，则∠A=∠ACP,

∵∠A+∠B=900，∠ACP+∠BCP=900，

∴∠B=∠BCP

∴BP=CP=AP

∴AP=

∴ t＝；

②如图②，当AP=AC=3时，t＝3；

③当PC=AC=3时，过点C作CD⊥AB于点D，

∵S△ABC==ABCD

∴5CD=12,

∴CD=,

∴PD=AD=

∴AP=

∴t=；

④当PC=AC=3时，BP=4-3=1，则AB+BP=5+1=6，∴t＝6．

综上所述，当t＝或3或或6s时，△ACP为等腰三角形．