Question

【题目】如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．

（1）证：．

（2）的度数．

（3）知，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°，即可求出所求角度数；
（3）连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

(1)证明：∵在中，，

∴，，

由旋转可得：，，

∴，

∴；

（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B=60°，即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°，
∵BB'=B'F，
∴∠FBB′=∠B'FB=15°；

（3）连接，过作，由（2）可得是等腰直角三角形，为等边三角形，

∴，

∴，，

在中，，

在中，，

则．