Question

【题目】如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.

（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；

（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.

Answer 1

【答案】（1）2 ；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）=

【解析】

(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；

(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题；

(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.

(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，

∵T(AC，AB)=3，

∴AH=3，

∵AB=5，

∴BH=AB-AH=2，

∴T(BC，AB)=BH=2，

故答案为：2；

(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，

则∠AHC=∠CHB=90°，

∴∠B+∠HCB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°

∴∠A=∠HCB，

∴△ACH∽△CBH，

∴CH：BH=AH：CH，

∴CH2=AH·BH，

∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，

∴AH=4，BH=9，

∴AB=AH+BH=13，CH=6，

∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；

(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，

∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，

∴AC=2，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=∠BDK=30°，

∴CD=AC·tan60°=2，AD=2AC=4，AH=AC=1，

∴DH=4-1=3，

∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，

∴BH=6，

∴DB=BH-DH=3，

在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，

∴DK=BD·cos30°=，

∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=+=.