Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C= ，BC=12，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD是BC上的高，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tanB= ，cos∠DAC= ，

又∵tanB=cos∠DAC，

∴ = ，

∴AC=BD．

（2）解：在Rt△ADC中， ，

故可设AD=12k，AC=13k，

∴CD= =5k，

∵BC=BD+CD，又AC=BD，

∴BC=13k+5k=18k

由已知BC=12，

∴18k=12，

∴k= ，

∴AD=12k=12× =8．

【解析】（1）由于tanB=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
【考点精析】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，需要掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．