Question

【题目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如图1，若A，B两点的坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），求C点的坐标；

（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE= BD；

（3）如图3，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q是否恒在射线BD上？若在，请证明；若不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，作CM⊥OA垂足为M，

∵∠AOB=∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠CAM，

在△ABO和△CAM中，

，

∴△ABO≌△CAM，

∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO﹣AM=2，

∴点C坐标（4，2）

（2）

证明：如图2，延长CE，BA相交于点F，

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠EBF=∠ACF，

在△ABD和△ACF中 ，

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，

在△BCE和△BFE中， ，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴CE=EF，

∴CE= BD

（3）

解：结论：点Q恒在射线BD上，

理由如下：

如图3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分别为E、G、H、M、N．

在四边形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，

∴∠MQN=180°﹣∠ABC=135°，

同理可证：∠HQG=135°，

∴∠MQN=∠HQG，

∴∠MQH=∠GQN，

∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，

∴QE=QH=QG，∠QPH= ∠CPF=22.5°，

∵∠PMQ=∠PHQ=90°，

∴M、H、Q、P四点共圆，

∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，

∴∠FMQ=∠QNG，

在△MHQ和△NGQ中，

，

∴△MHQ≌△NGQ，

∴QM=QN，

∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴BQ平分∠ABC，

∴点Q恒在射线BD上

【解析】（1）要求点C坐标，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性质求出OM、CM即可；（2）延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论；（3）点Q是否恒在射线BD上，只要证明QM=QN，只要证明△M，HQ≌△NGQ即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用全等三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．