Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE.

(1)求证：△ABE≌△BCD；

(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；

(3)若CD＝1，试求△AED的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝BD，AE⊥BD，理由见解析；（3）△AED的面积为.

【解析】

（1）由已知条件可推导得到，由SAS即可证明△ABE≌△BCD；

(2)由（1）可得△ABE≌△BCD 可得AE＝BD，再由角的转化可得∠AFB＝90°，即可证明AE⊥BD；

(3)因为 △AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积,即可求解△AED的面积．

（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABE+∠C＝180°，

∵∠C＝90°，

∴∠ABE＝90°＝∠C，

∵E是BC的中点，

∴BC＝2BE，

∵BC＝2CD，

∴BE＝CD，

在△ABE和△BCD中，，

∴△ABE≌△BCD（SAS）；

（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：

由（1）得：△ABE≌△BCD，

∴AE＝BD，

∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，

∴∠ABF+∠BAE＝90°，

∴∠AFB＝90°，

∴AE⊥BD；

（3）解：∵△ABE≌△BCD，

∴BE＝CD＝1，

∵AB＝BC＝2CD＝2，

∴CE＝BC﹣BE＝1，

∴CE＝CD，

∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1＝