Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2-2x+3；（-1，4）；（2）S=-x2-3x（-3＜x＜-1），S最大值．（3）P′（，）．点P′不在该抛物线上．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．

（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=PEyP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．

（3）由最值时，P为（-，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴，

解得，

∴解析式为y=-x2-2x+3

∵-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴抛物线顶点坐标D为（-1，4）．

（2）∵A（-3，0），D（-1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有，

解得，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S△APE=PEyP=（-x）（2x+6）=-x2-3x（-3＜x＜-1），当x=-时，S取最大值．

（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y轴，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

设EN=m，则FN=m，P′N=3-m．

在Rt△P′EN中，

∵（3-m）2+（）2=m2，

∴m=．

∵S△P′EN=P′NP′E=ENP′M，

∴P′M=．

在Rt△EMP′中，

∵EM=，

∴OM=EO-EM=，

∴P′（，）．

当x=时，y=-（）2-2+3=≠，

∴点P′不在该抛物线上．