Question

【题目】如图，AB∥CD．

（1）如图1，∠A、∠E、∠C的数量关系为　 ．

（2）如图2，若∠A＝50°，∠F＝115°，求∠C﹣∠E的度数；

（3）如图3，∠E＝90°，AG，FG分别平分∠BAE，∠CFE，若GD∥FC，试探究∠AGF与∠GDC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠AEC＝∠C+∠A；（2）∠C﹣∠E＝15°；（3）2∠AGF+∠GDC＝90°．理由见解析．

【解析】

（1）过点E作EF∥AB，知AB∥CD∥EF，据此得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，根据∠AEC=∠AEF+∠CEF可得答案；

（2）分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，设∠NEF=x=∠EFM，知∠AEF=x+50°，∠MFC=115°-x，据此得∠C=180°-（115°-x）=x+65°，进一步计算可得答案；

（3）分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，设∠GAE=x=∠GAB，∠GFM=y，∠MPC=z，知∠GPE=y+z，从而得2x+2y+z=90°，∠C=180°-z，根据GD∥FC得∠D=z，由GH∥AB，AB∥CD知∠AGF=x+y，继而代入可得答案．

（1）∠AEC＝∠C+∠A，

如图1，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，

则∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，

故答案为：∠AEC＝∠C+∠A；

（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，

设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，

∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，

∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；

（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，

设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MPC＝z，

则∠GPE＝y+z，

∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，

∵GD∥FC，

∴∠D＝z，

∵GH∥AB，AB∥CD，

∴∠AGF＝x+y，

∴2∠AGF+∠GDC＝90°．