Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交X轴于B点，A（0，6），B（6，0）．点D是线段BO上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．

（1）如图，若OM∥BN交AD于点M．点O作0G⊥BN，交BN的延长线于点G，求证：AM＝BG

（2）如图，若∠ADO＝67.5°，OM∥BN交AD于点M，交AB于点Q，求的值．

（3）如图，若OC∥AB交BN的延长线于点C．请证明：∠CDN＋2∠BDN＝180°．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）欲证明AM=BG，只要证明△AOM≌△BOG即可；
（2）在AD上截取AH=OQ,连接OH,先证明△AOH≌△△OBQ，推出∠AOH=∠OBQ=45°,推出HD=2MD．
（3）如图，作OE平分∠AOB交AD于K．只要证明△AOK≌△OBC，推出OK=OC，再证明△ODK≌△ODC，推出∠ODK=∠ODC，由∠ODK=∠BDN，可得∠ODC=∠BDN，由此即可解决问题.

(1) 在△AOM和△BOG中

∴△AOM≌△△BOG

∴AM＝BG.

② 在AD上截取AH=OQ,连接OH,

∵∠ADO=67.5°∴∠OAD=∠BOQ=22.5°

易证∴△AOH≌△△OBQ

∴∠AOH=∠OBQ=45°

∴∠HOM=90°-45°-22.5°=22.5°=∠BOQ

有三线合一性质得HD=2MD

∴===

(3)作∠AOD的角平分线交AD于K

∵0C∥AB ∴∠ABO=∠BOC=∠AOK=∠BOK=450

在△AOK和△BOC中

∴△AOK≌△△BOC

∴OK＝OC

在△KOD和△DOC中

∴△KOD≌△△DOC

∴∠ODC=∠ODK=∠BDN

∴∠CDN+2∠BDN=180°.