Question

【题目】如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在CE上，AF⊥CB，垂足为F.

(1)若AC＝10，求四边形ABCD的面积；

(2)求证：CE＝2AF.

Answer 1

【答案】(1) 50；(2)证明见解析.

【解析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；
（2）过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求出AF=AG，进而求出CG=AG=GE，即可得出答案．

(1)∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，

∴∠BAC＝∠EAD.

在△ABC和△ADE中，

AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，

∴△ABC≌△ADE(SAS)．

∴S△ABC＝S△ADE，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ADE＋S△ACD

＝S△ACE＝AC·AE＝×102＝50.

(2)∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE＝∠AEC＝45°.由(1)知△ABC≌△ADE，

∴∠ACB＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴CA平分∠ECF.

过点A作AG⊥CD，垂足为点G.

∵AF⊥CB，∴AF＝AG.又∵AC＝AE，

∴∠CAG＝∠EAG＝45°，

∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC，

∴CG＝AG＝GE，

∴CE＝2AG＝2AF.