Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的BC段上，是否存在一点G，使得△GBC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点G的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x；

（2）当x=﹣2时，S△GBC=1最大，此时，G（﹣2，0）；

（3）符合条件的点P有两个，分别是P1（， ），P2（3，15）

（4）D1（1，3），D2（﹣3，3）；D3（﹣1，﹣1）．

【解析】试题分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）存在一点G，使得△GBC的面积最大，过G作GH垂直y轴交BC于点H，设G（x1，x2+2x），求出直线BC的解析式，表示出点H的坐标，用x表示出GH的长，构建 出以GH和△GBC的面积为变量的二次函数模型，根据二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标。（4）分OA为平行四边形的一边和对角线两种情况，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以求出点D的坐标.

试题解析：

（1）∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）x=x2﹣2x；

（2）存在一点G，使得△GBC的面积最大，理由如下：

理由：过G作GH垂直y轴交BC于点H，设G（x1，x2+2x），设过直线BC的解析式为y=kx+b，∵y=（x﹣2）x=x2﹣2x=（x+1）2﹣1，∴顶点C（﹣1，﹣1），

又∵B（﹣3，﹣3），∴，∴，∴y=﹣2x﹣3，∴可设点H（x，﹣2x﹣3）∴S△GBC=（﹣2x﹣3﹣x2﹣2x）（﹣1+3）=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1

∵a=﹣1＜0，对称轴为x=﹣2，∴当x=﹣2时，S△GBC=1最大，此时，G（﹣2，0）；

（3）存在，∵点B在抛物线上，∴当x=﹣3时，y=9﹣6=3，∴B（﹣3，3），

根据勾股定理得：BO2=9+9=18；CO2=1+1=2；BC2=16+4=20，∴BO2+CO2=18+2=20，∴BO2+CO2=BC2，∴△BOC为直角三角形，假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，如图2，设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m2+2m，

①若△AMP∽△BOC，则，即，整理得：m+2=3（m2+2m）=0，即3m2+5m﹣2=0，解得：m1=，m2=﹣2（舍去），m1=时，n=+=，∴P（，）；

②若△AMP∽△COB，则，即，整理得：m2﹣m﹣6=0，

解得 m1=3，m2=﹣2（舍去），当m=3时，n=9+6=15，∴P（3，15），

综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（3，15）；

（4）如图3所示，分三种情况考虑：

当D1在第一象限时，若四边形AOD1E1为平行四边形，

∴AO=E1D1=2，

∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，

∴D1横坐标为1，

将x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3，即D1（1，3）；

当D2在第二象限时，同理D2（﹣3，3）；

当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3（﹣1，﹣1）．