Question

【题目】如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，过点D作DF⊥x轴于点F．

由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．

∵DF∥BE，

∴△ADF∽△ABE，

∴ = = ，即AE=2AF②，

①与②联立，解得AE=2，AF=1，

∴点A的坐标为（﹣2，0）；

（2）

解：∵抛物线过原点（0，0），

∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．

∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），

∴对称轴为直线x= =﹣1，

∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，

∴C点横坐标为2，

∴BC=2﹣（﹣4）=6．

∵抛物线开口向上，

∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，

∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：

①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），

则16+ =36，解得y1=±2 （负值舍去）．

将A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入y=ax2+bx，

得 ，解得 ．

∴此抛物线的解析式为y= x2+ x；

②当OC=BC时，设C（2，y2），

则4+ =36，解得y2=±4 （负值舍去）．

将A（﹣2，0），C（2，4 ）代入y=ax2+bx，

得 ，解得 ．

∴此抛物线的解析式为y= x2+ x．

综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y= x2+ x或y= x2+ x

【解析】（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将A，C两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．