Question

【题目】当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m，）为“完美点”．

（1）若点E为完美点，且横坐标为2，则点E的纵坐标为　 　；若点F为完美点，且横坐标为3，则点F的纵坐标为　 　；

（2）完美点P在直线　 　（填直线解析式）上；

（3）如图，已知点A（0，5）与点M都在直线y＝﹣x+5上，点B，C是“完美点”，且点B在直线AM上．若MC＝，AM＝4，求△MBC的面积．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）y＝x﹣1；（3）△MBC的面积=.

【解析】

（1）把m＝2和3分别代入m+n＝mn，求出n即可；

（2）求出两条直线的解析式，再把P点的坐标代入即可；

（3）由m+n＝mn变式为＝m﹣1，可知P（m，m﹣1），所以在直线y＝x﹣1上，点A（0，5）在直线y＝﹣x+b上，求得直线AM：y＝﹣x+5，进而求得B（3，2），根据直线平行的性质从而证得直线AM与直线y＝x﹣1垂直，然后根据勾股定理求得BC的长，从而求得三角形的面积．

（1）把m＝2代入m+n＝mn得：2+n＝2n，

解得：n＝2，

即＝＝1，

所以E的纵坐标为1；

把m＝3代入m+n＝mn得：3+n＝3n，

解得：n＝，

即，

所以F的纵坐标为2；

故答案为：1，2；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

从图象可知：与x轴的交点坐标为（5，0）A（0，5），

代入得：，

解得：k＝﹣1，b＝5，

即直线AB的解析式是y＝﹣x+5，

设直线BC的解析式为y＝ax+c，

从图象可知：与y轴的交点坐标为（0，﹣1），与x轴的交点坐标为（1，0），

代入得：，

解得：a＝1，c＝﹣1，

即直线BC的解析式是y＝x﹣1，

∵P（m，），m+n＝mn且m，n是正实数，

∴除以n得：，即

∴P（m，m﹣1）即“完美点”P在直线y＝x﹣1上；

故答案为：y＝x﹣1；

（3）∵直线AB的解析式为：y＝﹣x+5，直线BC的解析式为y＝x﹣1，

∴，

解得：，

∴B（3，2），

∵一、三象限的角平分线y＝x垂直于二、四象限的角平分线y＝﹣x，而直线y＝x﹣1与直线y＝x平行，直线y＝﹣x+5与直线y＝﹣x平行，

∴直线AM与直线y＝x﹣1垂直，

∵点B是直线y＝x﹣1与直线AM的交点，

∴垂足是点B，

∵点C是“完美点”，

∴点C在直线y＝x﹣1上，

∴△MBC是直角三角形，

∵B（3，2），A（0，5），

∴

∵，

∴

又∵，

∴BC＝1，

∴S△MBC＝．