Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

（1）试说明四边形AOBC是矩形．

（2）在x轴上取一点D，将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点与点D对应）．若OD＝3，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（4，9）或（4，15）

【解析】

（1）根据矩形的判定证明即可；
（2）当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可.

解：（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．
∴OA=4，BC=4，OB=8，AC=8，
∴OA=BC，AC=OB，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∵∠AOB=90°，
∴AOBC是矩形；
（2）∵AOBC是矩形，
∴∠ACB=90°，∠OBC=90°，
∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），
∴∠D'B'C=∠DBC=90°，B'C=BC=4，D'B'=DB，∠BCB'=90°，
即点B'在AC边上，
∴D'B'⊥AC，
①如图1，当D在原点右侧时：D'B'=DB=8-3=5，

∴点D'的坐标为（4，9）；
②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'=DB=8+3=11，
∴点D'的坐标为（4，15），