Question

【题目】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F， 点B的对应点为B′．

（1）证明：AE=CF；

（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5.

【解析】

（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；
（2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13．所在DF=18-13=5.

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中，

，
∴△ADF≌△AB′E（ASA）．
∴AE=CF；
（2）解：由折叠性质得FA=FC，
设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴122+（18-x）2=x2．
解得x=13．

∴DF=18-13=5