Question

【题目】如图，等腰 ， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点， ，

下面结论：
① ；
② 是等边三角形；
③ ；
④ ．
其中正确的是（ ）．
A.②③
B.①②④
C.③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴OB=OC， BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，∴∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故②正确；在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中， ，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；
过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，∴CH=CD，
∴S△ABC= AB·CH，S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝ AP·CH+ OA·CD
= AP·CH+ OA·CH= CH·（AP+OA）= CH=·AC，
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．所以①②③④都正确，故答案为：D．
连接OB，可证明①②正确，在AC上截取AE=PA，可证③正确，过点C作CH⊥AB于H，可证④正确。