Question

【题目】现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴原点O，AC＝8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．

（1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应的数轴上的数是 ， 点H对应的数轴上的数是；
（2）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO＝a，试用a来表示∠M的大小：（写出推理过程）
（3）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和
∠FOC的平分线交于点N，求∠N＋∠M的值．

Answer 1

【答案】
（1）-5；-1
（2）解：∵∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，
∴2∠FHM=∠FHA，2∠HGM=∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，
∴∠M=∠HAG=（∠HAO+∠OAG）= ɑ+22.5
（3）解： ∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，
∴∠N=90°- ∠FAO=90°-∠FAH-∠OAH （可以直接利用∠N=90°-∠FAO）
=90°-15°- ∠OAH
=75°- ∠OAH，
∵∠M=∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=97.5°．
【解析】解：（1）如图1，∵AC的中点过数轴的原点O，AC=8，
∴AO=4，
∵△AGH的面积是10，
∴×4×GH=10，
解得GH=5，
又∵∠AOG=90,∠OAG=45，
∴OG=OA=4，
∴OH=1，
∴点H对应的数轴上的数是1，
∵△AHF的面积是8，
∴FH4=8，
解得FH=4，
∴OF=OH+FH=5，
∴点F对应的数轴上的数是5，
故答案为：5，1；
（1）根据中点的定义得出OA=4，根据三角形的面积得出×4×GH=10，从而得出GH的长度，根据等腰直角三角形的性质得出OG=OA=4，从而得出OH的长，得到点H对应的数轴上的数是1，再根据三角形的面积得出FH4=8，从而得出FH的长，根据OF=OH+FH，得出OF的长，从而得出点F对应的数轴上的数是5；
（2）根据角平分线的定义得出2∠FHM= ∠FHA，2∠HGM= ∠HGA，根据三角形的外角定理得出∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，根据等量代换得出2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，根据等式的性质从而得出答案∠M= ∠HAG= （∠HAO+∠OAG）= ɑ+22.5 ；
（3）直接利用结论∠N=90°- ∠FAO=75°- ∠OAH，又因∠M= ∠OAH+22.5°，从而得出∠M+∠N=97.5°．