【题目】如图1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4，EF=8．点A、C、D、E在一条直线上，等腰Rt△DEF静止不动，初始时刻，C与D重合，之后等腰Rt△ABC从C出发，沿射线CE方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当A点与E点重合时，停止运动．设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接写出线段AC、DE的长度；

（2）在等腰Rt△ABC的运动过程中，设等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）在整个运动过程中，当线段AB与线段EF相交时，设交点为点M，点O为线段CE的中点；是否存在这样的t，使点E、O、M三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）AC=4，DE=8，；（2）见解析;（3）见解析.

【解析】

（1）利用运动即可得出结论；

（2）利用面积的和差和特殊图形的面积公式分三种情况讨论计算即可；

（3）找出△MOE是等腰三角形时的位置即可得出结论．

（1）在Rt△ABC中，

AC=BC，AB=4，

∴AC=BC=4，

同理：DE=DF=8；

（2）当0＜t≤4时，如图1，设AB与BD的交点为G，

由运动知，CD=t，

∴DG=AD=4﹣t，

∴S=（DG+BC）×CD=（4﹣t+4）×t=﹣t2+4t，

当4＜t≤8时，

如图3，记AB与EF的交点为P，

由运动知，CE=8﹣t，

∴CQ=8﹣t，

∴BQ=4﹣（8﹣t）=t﹣4，

∴S=S△ABC﹣S△PBQ=×4×4﹣（t﹣4）×（t﹣4）=8﹣（t﹣4）2，

当8＜t＜12时，如图5，

记AB与EF的交点为N'，

由运动知，AC=4﹣（t﹣8）=t﹣4，

∴S=S△AEN'=（t﹣4）×（t﹣4）=（t﹣4）2；

（3）当∠MOE=90°时，如图6，

即：点C与O重合，

∴t=4，

当∠OME=90°时，如图7，

点A和O重合，

∴t=8，

即：△MOE是等腰三角形时，t=4或8．

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