Question

【题目】如图，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，AM交BE于点M，CN交DF于点N，连接AN，CM．求证：四边形AMCN是平行四边形．

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

连接AC交BD于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，由ASA证明△ABM≌△CDN，得出BM=DN，证出OM=ON，即可得出结论．

证明：连接AC交BD于O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABM=∠CDN，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴∠ABM+∠BAE=90°，∠CDN+∠DCF=90°，

∴∠BAE=∠DCF，

∵AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，

∴∠BAM=∠DCN，

在△ABM和△CDN中，，

∴△ABM≌△CDN（ASA），

∴BM=DN，

∴OM=ON，

又∵OA=OC，

∴四边形AMCN是平行四边形．