Question

【题目】如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求证：MN是半圆的切线；

（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．

（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=CH，理由见解析；（3）AE=1.

【解析】试题分析：（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；

（2）连接AD，证明△ADE≌△CDH即可；

（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可证得BE=BH，结合BC和AB的长可求出AE．

试题解析：（1）如图所示，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，

即∠MAB=90°，

∴MN是半圆的切线；

（2）AE=CH，理由如下：

连接AD，

∵D是的中点，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，

∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，且∠AED=∠DHC，

在Rt△ADE和Rt△CDH中， ，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），

∴AE=CH；

（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，

在△RtDBH和Rt△DBE中， ，∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），

∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，

又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，

∴AE=1．