Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax﹣2ax＋3(a≠0)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OB=3OA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，点P、点Q是第一象限的抛物线上不同的两点，是否存在这样的P点，使得恒成立？若存在，请求P点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，D为抛物线的对称轴与x轴的交点，M为线段OC上一点，过点M作直线l交抛物线于E、F两点，连接AE、OE、BF、DF若△AEO∽△DFB，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x＋2x＋3；（2）P；（3）(0， )．

【解析】试题分析：（1）利用韦达定理求二次函数解析式.(2)联立一次函数和二次函数求解.(3)设EF（带k）的函数，与一元二次方程联立，韦达定理,设而不求，利用相似求出k的关系，求出k的值,也就是求出EF函数的表达式，令x=0,求出M坐标.

试题解析：

解：⑴设A(x1，0)，B(x2，0)，

则x1、x2是关于x的方程ax﹣2ax＋3=0的两根，

∴x1＋x2=2，x1·x2=，

∵OB=3OA，∴x2=﹣3x1，∴x1=﹣1，x2=3，∴a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x＋2x＋3．

⑵∵恒成立，∴最大，∵BC长不变，∴只需BC边上的高最大，

∴点P是直线BC平移后与抛物线得到的唯一公共点，

∵B(3,0)、C(0,3)，∴BC的解析式为y=﹣x＋3，

∴设BC平移后的直线为y=﹣x＋b，由，

消去y，得到x﹣3x＋b﹣3=0，∵△=0，∴x1=x2=，

在y=﹣x＋2x＋3中，当x=时，y=，∴P．

⑶延长FE交x轴于N， D(1,0)，

∵△AEO∽△DFB，∴∠EAO=∠FDB，∠EOA=∠FBD，

∴EA∥FD，EO∥FB，∴ ,

设N(n，0)，∴ ，解得：n=﹣3，∴N(﹣3,0)，

∴，∴……①，

设EF的解析式为y=kx＋3k，由，

消去y整理，得：x＋(k﹣2)x＋3k﹣3=0，

∴……②，……③，

由①②得： ， ，

代入③，得，∴或 (舍)，

∴直线EF为，

∴M(0， )．