Question

【题目】综合题
（1）发现
如图，点 为线段 外一动点，且 ， .

填空：当点 位于时，线段 的长取得最大值，且最大值为.（用含 ， 的式子表示）
（2）应用
点 为线段 外一动点，且 ， .如图所示，分别以 ， 为边，作等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， .
①找出图中与 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段 长的最大值.

（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 为线段 外一动点，且 ， ， ，求线段 长的最大值及此时点 的坐标.

Answer 1

【答案】
（1）CB的延长线上,a+b
（2）解：①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）解：如图3，

构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。

易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN= ，∴AM=NB=AB+AN=3+ ;过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE= ,又A（2，0）∴P（2- ， ）

【解析】（1）当点A在线段CB的延长线上时，可得线段AC的长取得最大值为a+b；

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论。
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果。
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．