Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(0,3)三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段BC上的点(不与B、C重合)，过M作MN//y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；

（3）在(2)的条件下，是否存在m，使MN的长度最大？若存在，求m的值，幷求出此时点M和N的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．(2) ﹣m2+3m（0＜m＜3）．(3)m=1.5；M(1.5，1.5) N(1.5， )

【解析】试题分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．

（3）通过配方即可求值.

试题解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x﹣3)，则：a(0+1)(0﹣3)=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ，解得 ；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故N=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3当m=-=1.5时，MN的长度最大。

当m=1.5时，-m+3=1.5

﹣m2+2m+3=

∴M(1.5，1.5) N(1.5， )