Question

【题目】点A，B的坐标分别为（-2,3）和（1,3），抛物线y=ax2+bx+c（a<0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c<3；②当x<-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a= .其中正确的是（ ）
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
CD2=（- ）2-4× = ，
根据顶点坐标公式， ，
∴ ，
∴CD2= ×（-12）= ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴ =32=9，
解得a= ，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选：A．

【考点精析】利用二次函数的性质和平行四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．