Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2，

解得：x1=﹣1，x2=4，

则A（﹣1，0），B（4，0），

当x=0时，y=2，

故C（0，2）

（2）

解：①过点D作DE⊥x轴于点E，

∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，

∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，

∴D（3，﹣2）；

②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，

∴AC=BD，AD=BC，

∴四边形ADBC是平行四边形，

∵AC= = ，BC= =2 ，

AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°，

∴四边形ADBC是矩形

（3）

解：由题意可得：BD= ，AD=2 ，

则 = ，

当△BMP∽△ADB时，

= = ，

可得：BM=2.5，

则PM=1.25，

故P（1.5，1.25），

当△BMP1∽△ABD时，

P1（1.5，﹣1.25），

当△BMP2∽△BDA时，

可得：P2（1.5，5），

当△BMP3∽△BDA时，

可得：P3（1.5，﹣5），

综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）

【解析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．