Question

【题目】（题文）（问题引领）

问题1：在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结CG，先证明

△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是________________．

（探究思考）

问题2：若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，

∠ECF= ∠BCD， 问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．

（拓展延伸）

问题3：在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】EF=BE+DF

【解析】

问题1，先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；
问题2、先判断出∠ABC=∠GDC，进而判断出△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；
问题3、同问题2的方法即可得出结论.

问题1、BE+FD=EF，

理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∵

∴

∵

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE；

故答案为：EF=DF+BE；

问题2,问题1中结论仍然成立,如图2,

理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，

∵

∴∠ABC=∠GDC,

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵

∴

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE；

问题3.结论：DF=EF+BE;理由：如图3,

延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，

∵

∴∠ABC=∠GDC

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵

∴

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴DF=FG+DG=EF+BE；