Question

【题目】如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．

（1）求证：DP＝DB；

（2）求证：DA+DB＝DC；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）首先由等边三角形的性质易得AB=AC=BC，由垂直平分线的性质易得AP=AC，等量代换可得AP=AB，由SAS定理可证得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性质可得结论；

（2）在CP上截CQ=PD，证明△ACQ≌△APD，等量代换，证得△ADQ为等边三角形，得出结论.

(1) ∵AH是PC的垂直平分线

∴PA＝PC＝AB

∵AD平分∠PAB

∴∠PAD＝∠BAD

在△PAD和△BAD中，

∴△PAD≌△BAD（SAS）

∴DP＝DB

(2) 在CP上截取CQ＝PD，连接AQ

∵AP＝AC

∴∠APD＝∠ACQ

在△APD和△ACQ中，

∴△APD≌△ACQ（SAS）

∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD

∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°

∴△ADQ为等边三角形

∴AD＝DQ

∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB