Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，

AF与BG交于点E．

（1）求证：AF⊥BG，DF=CG；

（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）FG的长度为2，BG的长度为4．

【解析】

试题分析：（1）由在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，易求得2∠BAF+2∠ABG=180°，即可得∠AEB=90°，证得AF⊥BG，易证得△ADF与△BCG是等腰三角形，即可得AD=DF，BC=CG，又由AD=BC，即可证得DF=CG；

（2）由（1）易求得DF=CG=8，CD=AB=10，即可求得FG的长；过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H，易证得四边形ABHF为平行四边形，即可得△HBG是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得BG的长．

（1）证明：∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=∠BAD．

∵BG平分∠ABC，

∴∠ABG=∠CBG=∠ABC．

∵四边形ABCD平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

即2∠BAF+2∠ABG=180°，

∴∠BAF+∠ABG=90°．

∴∠AEB=180°﹣（∠BAF+∠ABG）=180°﹣90°=90°．

∴AF⊥BG；

∵AB∥CD，

∴∠BAF=∠AFD，

∴∠AFD=∠DAF，

∴DF=AD，

∵AB∥CD，

∴∠ABG=∠CGB，

∴∠CBG=∠CGB，

∴CG=BC，

∵AD=BC．

∴DF=CG；

（2）解：∵DF=AD=6，

∴CG=DF=6．

∴CG+DF=12，

∵四边形ABCD平行四边形，

∴CD=AB=10．

∴10+FG=12，

∴FG=2，

过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．

∴∠GBH=∠AEB=90°．

∵AF∥BH，AB∥FH，

∴四边形ABHF为平行四边形．

∴BH=AF=8，FH=AB=10．

∴GH=FG+FH=2+10=12，

∴在Rt△BHG中：BG==．

∴FG的长度为2，BG的长度为4．