Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④ ＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论的是：____________．（填序号）

Answer 1

【答案】①③④⑤．

【解析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对③⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．

解：①∵函数开口方向向上，

∴a＞0；

∵对称轴在原点右侧

∴ab异号，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②错误；

③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，

∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，

∵对称轴为直线x=1

∴ =1，即b=﹣2a，

∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，

∴4ac﹣b2=4a（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0

∵8a＞0

∴4ac﹣b2＜8a

故③正确

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，

∴﹣2＜c＜﹣1

∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，

∴＞a＞ ；

故④正确

⑤∵a＞0，

∴b﹣c＞0，即b＞c；

故⑤正确；

故答案为：①③④⑤．