Question

【题目】已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.

【解析】

试题分析：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠ADE=∠AED，∴AD=EA，∴BD=CE；（2）根据旋转可得△DAB≌△EAC，从而DB=CE；（3）将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，可得PE=，根据PE2+AE2=AP2，推出△PEA是直角三角形.进而可求得∠BPC的度数.

试题解析：（1）=；（2）成立，原因如下：由旋转可得AD=AE，∠DAB=∠CAE，又∵AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE.（3）将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，

∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形.∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA，

∴∠BPC=∠CEA=135°．