Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．

（1）求证：∠BME=∠MAB；

（2）求证：BM2=BEAB；

（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）8.

【解析】试题分析：（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；

（2）由（1）得出的结论和直角，判断出△BME∽△BAM，即可得出结论，

（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．

试题解析：（1）如图，连接OM，

∵直线CD切⊙O于点M，

∴∠OMD=90°，

∴∠BME+∠OMB=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AMB=90°．

∴∠AMO+∠OMB=90°，

∴∠BME=∠AMO，

∵OA=OM，

∴∠MAB=∠AMO，

∴∠BME=∠MAB；

（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵BE⊥CD，

∴∠BEM=∠AMB=90°，

∴△BME∽△BAM，

∴

∴BM2=BEAB；

（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵sin∠BAM=，

∴sin∠BME=，

在Rt△BEM中，BE=，

∴sin∠BME==，

∴BM=6，

在Rt△ABM中，sin∠BAM=，

∴sin∠BAM==，

∴AB=BM=10，据勾股定理得，AM=8．