Question

【题目】问题探究：
（1）如图①，边长为4的等边△OAB位于平面直角坐标系中，将△OAB折叠，使点B落在OA的中点处，则折痕长为；

（2）如图②，矩形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=8，AB=6，将矩形沿线段MN折叠，点B落在x轴上，其中AN= AB，求折痕MN的长；

（3）如图③，四边形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=AB=6，CB=4，BC∥OA，AB⊥OA于点A，点Q（4，3）为四边形内部一点，将四边形折叠，使点B落在x轴上，问是否存在过点Q的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）

解：如图2中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H

∵AN= AB=2，

∴NB=NB′=4，

在Rt△ANB′中，AB′= =2 ，

∴OB′=8﹣2 ，

∴点B′（8﹣2 ，0），

∵B（8，6），

∴BB′中点H（8﹣ ，3），∵点N坐标（8，2），

设直线NH解析式为y=kx+b，则有 解得 ，

∴直线NH解析式为y=﹣ x+2+ ，

∴点M坐标（0，2+ ），

∴MN= =

（3）

解：存在．

理由：如图3中，延长BQ交OA于B″，连接AQ，过点Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．

∵Q（4，3），

∴N（6，3），

∴BN=AN．QB=QB″，

作BB″的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B″关于直线PF对称，满足条件，

在Rt△ABB″中，∵∠BAB″=90°，BQ=QB″，

∴AQ=QB，

∴此时B、A（B′）关于直线MN对称，满足条件．

∵C（2，6），

∴直线OC解析式为y=3x，

∵NM∥OA，BN=NA，

∴CM=OM，

∴点M（1，3），

∴MN=5（过M做MM'⊥BA于M'，利用△BB'A中AB'=2√3，AB=6，所以∠B'BA=30°，进而推导∠M'MN=30°，求得MN结果更快！）

∵B（6，6），B″（2，0），

∴可得直线BB″的解析式为y= x﹣3，

∴过点Q垂直BB″的直线PF的解析式为y=﹣ x+ ，

由 解得 ，

∴点P（ ， ），F（6， ），

∴PF= = ，

综上所述，折痕的长为5或

【解析】解：（1）如图1中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H．

∵△ABC是等边三角形，OB′=B′A，
∴BB′⊥OA，又∵BB′⊥MN，
∴MN∥OA，∵BH=HB′，
∴BM=OM，BN=NA，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN= OA=2．
故答案为2．
（1）如图1中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H．只要证明折痕是△ABC的中位线即可．（2）如图2中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H，求出直线MN的解析式即可解决问题．（3）存在．如图3中，延长BQ交OA于B″，连接AQ，过点Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．可以证明线段MN计算折痕；作BB″的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B″关于直线PF对称，线段PF也是折痕．分别求出MN、PF即可解决问题．