Question

【题目】如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：令x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

则点C的坐标为（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴点E坐标为（1，﹣4），

设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，

∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，

∵DC=DE，

∴m2+9=m2+8m+16+1，

解得m=﹣1，

∴点D的坐标为（0，﹣1）

（3）

解：∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），

∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根据勾股定理，CD= = = ，

在△COD和△DFE中，

∵ ，

∴△COD≌△DFE（SAS），

∴∠EDF=∠DCO，

又∵∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°﹣90°=90°，

∴CD⊥DE，

①分OC与CD是对应边时，

∵△DOC∽△PDC，

∴ = ，

即 = ，

解得DP= ，

过点P作PG⊥y轴于点G，

则 = = ，

即 = = ，

解得DG=1，PG= ，

当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，

所以点P（﹣ ，0），

当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，

所以，点P（ ，﹣2）；

②OC与DP是对应边时，

∵△DOC∽△CDP，

∴ = ，

即 = ，

解得DP=3 ，

过点P作PG⊥y轴于点G，

则 = = ，

即 = = ，

解得DG=9，PG=3，

当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，

所以，点P的坐标是（﹣3，8），

当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，

所以，点P的坐标是（3，﹣10），

综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣ ，0）、（ ，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC2与DE2 ， 然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．