Question

【题目】如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+．（2）证明见解析；（3）P（，）．．

【解析】

试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；

（3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=：2：1．则△PEF的面积=PF2，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．

把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴A（0，4）．

将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，

∴B（8，0）．

∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4），

∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO=．

∴∠MAG=∠ABO．

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．

∴l是⊙M的切线．

（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，

∴∠FPE=∠FBD．

∴tan∠FPE=．

∴PF：PE：EF=：2：1．

∴△PEF的面积=PEEF=PFPF=PF2．

∴当PF最小时，△PEF的面积最小．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+，则F（x，﹣x+4）．

∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．

∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为．

∴P（，）．

∴△PEF的面积的最小值为=×（）2=．