Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，EG⊥BC于点G，连接AG、FG．下列结论：①AE＝CE；②△ABF≌△GBF；③BE⊥AG；④△AEF为等腰三角形．其中正确结论的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用全等三角形的性质以及角平分线的性质定理一一判断即可．

∵BF平分∠ABC，∠BAC＝90°，EG⊥BC

∴AE＝EG，

∵EC＞EG，

∴EC＞AE，故①错误，

∵AE＝EG，BE＝BE

∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL）

∴AB＝BG，

∴点B在AG的垂直平分线上，

∵AE＝EG

∴点E在AG的垂直平分线上

∴BE是AG的垂直平分线

∴BE⊥AG，故③正确，

∵BA＝BG，∠ABF＝∠GBF，BF＝BF，

∴△ABF≌△GBF（SAS），故②正确，

∵BE是AG的垂直平分线

∴AF＝FG，EF⊥AG

∴∠AFE＝∠EFG

∵AD⊥BC，EG⊥BC

∴AD∥EG

∴∠AFE＝∠FEG

∴∠EFG＝∠FEG

∴FG＝EG

∴AF＝FG＝EG＝AE，故④正确，

故选：C．