Question

【题目】甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．

（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；

（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1）y2＝―0.4(x―75)2＋2250；（2）当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．

【解析】分析：（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y=kx+b，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根据：销售利润W=该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．

详解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．

根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．

所以，解得

所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．

设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，

当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．

所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．

（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．

当0＜x≤80时，

w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］

＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．

∵－0.2＜0，0＜x≤80

∴当x＝50时， w有最大值，最大值为500．

当80＜x≤84时，

w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，

∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，

∴当x＝84时， 有最大值，最大值为470.4．

综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．