Question

【题目】直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点N．

（1）如图①，过点A作AC的垂线交CM于点M，若∠MCD＝55°，求∠MAN的度数；

（2）如图②，点G是CD上的一点，连接MA、MG，若MC平分∠AMG且∠AMG＝36°，∠MGD+∠EAB＝180°，求∠ACD的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠MAN＝20°；（2）∠ACD＝108°．

【解析】

（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据垂线的定义，即可得出∠MAN的度数；

（2）设∠ACD=α，根据角平分线以及平行线即可得到∠MCG= ，ACD=α，∠BAC=∠MGD=180°-α，依据三角形外角性质，即可得到α的度数．

（1）∵CM是∠ACD的平分线，∠MCD＝55°，

∴∠ACD＝2∠MCD＝110°，

又∵AB∥CD，

∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，

又∵AM⊥EF，

∴∠MAN＝90°﹣70°＝20°；

（2）∵MC平分∠AMG且∠AMG＝36°，

∴∠CMG＝18°，

∵MC平分∠ACG，

∴∠MCG＝∠ACG，

∵∠CAB+∠EAB＝180°，∠MGD+∠EAB＝180°，

∴∠BAC＝∠MGD，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD＝180°，

设∠ACD＝α，则∠MCG＝ACD＝α，∠BAC＝∠MGD＝180°﹣α，

∵∠MGD是△CMG的外角，

∴∠MGD＝∠CMG+∠MCG，即180°﹣α＝α+18°，

解得α＝108°，

∴∠ACD＝108°．