【题目】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，AE垂直x轴于E点，已知，OE=3AE，点B的坐标为(m，)。

（1）求反比例函数的解析式。

（2）求一次函数的解析式。

（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标。

参考答案：

【答案】（1）双曲线的解析式为；（2）一次函数的解析式为；（3）点坐标为.

【解析】

试题分析：（1）因为，则可过作垂直轴，垂足为，利用三角函数和勾股定理即可求出，从而可知A（3,1），又由点A在反比例函数的图象上，由此可求出，从而求出反比例函数的解析式；

因为一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B两点，点B的坐标为，然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于的方程组，求出的值，最终写出一次一次函数的解析式；

在轴上存在一点P，使得与相似，而和是公共角，所以有，，而点C、D分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，因此有，，进而可求出PD，OP的长得出P点坐标.

试题解析：（1）过作垂直轴，垂足为，∵∵

点A的坐标为(3，1).∵A点在双曲线上，，。双曲线的解析式为；

（2）∵点在双曲线上，。点B的坐标为。一次函数的解析式为；

（3）过点C作，垂足为点C，∵C，D两点在直线上，∴C，D的坐标分别是：．即：，。∵，又点坐标为.

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