Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴ ，解得：

∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：△BCM为直角三角形．

如图1

，

作MF⊥y轴于F，ME⊥x轴于E

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4

∴顶点M（1，﹣4）．

当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴在Rt△CMF中，CM2=CF2+MF2=12+12=2，

在Rt△CBO中，CB2=OC2+OB2=32+32=18，

在Rt△EMB中，BM2=ME2+BE2=42+22=20，

∴CM2+CB2=BM2，

∴∠MCB=90°，

∴△BCM为直角三角形

（3）

解：如图2

，

在坐标轴上存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似．

如图分三种情形：①若假设点P在x轴上，构成以AC为斜边的Rt△ACP，由△PAC∽△CMB，得

= ， = ，

∴AP=1．

由A（﹣1，0）与点P在x轴上，可知P与原点重合，即点P的坐标为（0，0）．

②假设点P在x轴上，构成以AC为直角边的Rt△ACP，由△ACP∽△MCB，

得 = ， = ，

∴PA=10，

∴PO=9，

∴P（9，0）．

③若假设点P在y轴上，构成以 AC 为直角边的 Rt△ACP，

由△ACP∽△CBM，得

= ， = ，

∴PC= ，

∴PO= ，

∴P（O， ）．

综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，0），（9，0），（O， ）

【解析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据勾股定理即勾股定理的逆定里，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得AP，PC的长，根据点的坐标，可得答案．