Question

【题目】根据题意解答
（1）感知：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE度数；
（2）探究：如图②，在△ABC中，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC，其他条件不变，求∠DFE的度数”；
（3）拓展：如图③，若把△ABC变成四边形ABEC，把AE⊥BC变成EA平分∠BEC，其他条件不变，∠DAE的度数是否变化，并且说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠B=40°，∠C=70°，

∴∠BAC=70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=35°，

∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠DAE=90°﹣∠ADE=15°．

（2）解：同（1），可得，∠ADE=75°，

∵FE⊥BC，

∴∠FEB=90°，

∴∠DFE=90°﹣∠ADE=15°．

（3）解：结论：∠DAE的度数大小不变．

证明：∵AE平分∠BEC，

∴∠AEB=∠AEC，

∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE，

∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，

∴∠C+∠CAD﹣∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴2∠DAE=∠C﹣∠B=30°，

∴∠DAE=15°．

【解析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．