Question

【题目】平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（3，4），点B（6，0）．

（1）如图①，求AB的长；

（2）如图2，把图①中的△ABO绕点B顺时针旋转，使O的对应点M恰好落在OA的延长线上，N是点A旋转后的对应点；

①求证：四边形AOBN是平行四边形；

②求点N的坐标．

（3）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点，在△ABO绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）AB的长是5；（2）①见解析；②点N坐标为（9，4）；（3）线段CP长的取值范围为≤CP≤9．

【解析】

（1）根据平面直角坐标系中任意两点的距离公式计算即可；

（2）①根据平面直角坐标系中任意两点的距离公式计算出OA，从而得出OA=AB，然后根据等边对等角可得∠AOB=∠ABO，根据旋转的性质可得BM=BO，BN=BA，∠MBN=∠ABO=∠AOB，然后证出AO∥BN且AO=BN即可证出结论；

②证出AN∥x轴，再结合平行四边形的边长和点A的坐标即可得出结论；

（3）连接BP，根据题意，先根据三角形的三边关系可得当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长，然后求出BP的最小值和最大值即可求出CP的最值，从而得出结论．

（1）∵点A（3，4），点B（6，0）

∴AB==5

∴AB的长是5．

（2）①证明：∵OA==5

∴OA=AB

∴∠AOB=∠ABO

∵△ABO绕点B顺时针旋转得△NBM

∴BM=BO，BN=BA，∠MBN=∠ABO=∠AOB

∴∠OMB=∠AOB，OA=BN

∴∠OMB=∠MBN

∴AO∥BN且AO=BN

∴四边形AOBN是平行四边形

②如图1，连接AN

∵四边形AOBN是平行四边形

∴AN∥OB即AN∥x轴，AN=OB=6

∴xN=xA+6=3+6=9，yN=yA=4

∴点N坐标为（9，4）

（3）连接BP

∵点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN

∴点P为线段MN上的动点

∴点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆

∵C在OB上，且CB=OB=3

∴当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长

如图2，当BP⊥MN时，BP最短

∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5

∴MNBP=OByA

∴BP=

∴CP最小值=-3=

当点P与M重合时，BP最大，BP=BM=OB=6

∴CP最大值=6+3=9

∴线段CP长的取值范围为≤CP≤9．