Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．

（1）如图1，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的长；

（2）将图1中的△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，如图2，P，Q分别为线段AN，BC的中点，连接AC，BN，PQ，求证：BN=PQ．

Answer 1

【答案】（1）AC4+2；（2）见解析.

【解析】

（1）利用角平分线定理求出FM，再利用等腰直角三角形的性质即可得出CF，最后用即可；
（2）先判断出,再判断出∠PDQ=∠NDB，进而得出，△PDQ∽△NDB即可判断出结论；

（1）如图1，

∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．

∴CD⊥AB，∠ACD=45°

过点F作FM⊥AC，

∵AE平分∠CAB，

∴FM=FD=2

在Rt△CMF中，∠ACD=45°，

∴

∴

∵CD是等腰直角三角形斜边的中线，

∴

（2）如图2，连接DP，DQ，

∵△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，

∴AN=BC，DN=CD=DB，△ADN是等腰直角三角形，

∵△BCD是等腰直角三角形，点Q是BC中点，

∴

∵点P是AN中点，

∴

∴

∵∠NDP=∠CDQ=45°，

∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90°+∠CDN，

∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90°+∠CDN，

∴∠PDQ=∠NDB，

∵

∴△PDQ∽△NDB，

∴

∴