Question

【题目】△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，连接DH，求证：

（1）EH=FH；
（2）∠CAB=2∠CDH．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴∠CAE+∠AEC=∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠AFD=∠AEC，

∵∠AFD=∠CFE，

∴∠CFE=∠CEF，

∴CF=CE，

∵CH⊥EF，

∴HE=HF

（2）证明：∵∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，

∴△ADF∽△CFH，

∴ ，

∵∠AFC=∠DFH，

∴△AFC∽△DFH，

∴∠CAF=∠CDH，

∵∠CAD=2∠CAF，

∴∠CAB=2∠CDH．

【解析】（1）根据余角的性质得到∠AFD=∠AEC，证得∠CFE=∠CEF，得到CF=CE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．（2）由于∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，得到△ADF∽△CFH，根据相似三角形的性质得到 ，由于∠AFC=∠DFH，得到△AFC∽△DFH，根据相似三角形的性质得到∠CAF=∠CDH，等量代换即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．