Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时

（1）若CE⊥BD于E，①∠ECD=___________0；②求证：BD=2EC；

（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F＝90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点.当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？若在，请证明，若不在；请说明理由.

Answer 1

【答案】22.5．

【解析】（1）①先运用三角形内角和定理，得出∠ABD=∠ECD，再根据∠ABD=22.5°，得到∠ECD=22.5°；②延长CE交BA的延长线于点G，通过判定△ABD≌△ACG，得出BD=CG=2CE即可；

（2）连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP=∠QPC=22.5°，进而得出△PQC中，∠PQC=135°；在四边形QNBM中，根据QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，得到∠MQN=135°，进而得到∠NQC=∠MQP，根据AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM=QN，最后根据角平分线的性质定理的逆定理，得出点Q一定在射线BD上．

解：（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，

∴∠ABD=∠ECD，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=22.5°，

∴∠ECD=22.5°；

故答案为：22.5．

②如图，延长CE交BA的延长线于点G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD与△ACG中，

∠DBA=∠ACG，∠BAC=∠CAG，AB=AC，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）点Q一定在射线BD上，

理由：如图，连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF为∠PFC的角平分线，△CPF为等腰直角三角形，

∴QF为PC的垂直平分线，

∴PQ=QC，

∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF为等腰直角三角形，

∴∠FCP=∠FPC=45°，

∴∠QCP=∠QPC=22.5°，

∴△PQC中，∠PQC=135°，

∵在四边形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，

∴∠MQN=135°，

∴∠MQN=∠PQC，

∴∠NQC=∠MQP，

又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM=QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴点Q一定在射线BD上．