Question

【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；

（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；

（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.

求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；

②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．

Answer 1

【答案】（1）BN=或5；（2）图形见解析；（3）①证明见解析，②证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；由BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；

（2）①在AB上截取CE=CA，②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

（3）①如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接HE，只要证明△EAH≌△EAF，推出EF=HE，再证明∠HBE=90°即可；

②如图，连接FM，EN，证明△AEN和△AFM是等腰直角三角形，推出AM、AN，根据三角形的面积和锐角三角函数求解即可.

试题解析：（1）解：（1）①当MN为最大线段时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴BM===，

②当BN为最大线段时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴BN===5，

综上，BN=或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；

③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图2所示．

（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

∵EA=EA，AH=AF，

∴△EAH≌△EAF，

∴EF=HE，

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，

∵BH=DF，EF=HE，

∵EF2=BE2+DF2，

∴E、F是线段BD的勾股分割点．

②证明：如图4中，连接FM，EN．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，

∴△AFE∽△DFN，

∴∠AEF=∠DNF， =，

∴=，∵∠AFD=∠EFN，

∴△AFD∽△EFN，

∴∠DAF=∠FEN，

∵∠DAF+∠DNF=90°，

∴∠AEF+∠FEN=90°，

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，

∴AM=AF，AN=AE，

∵S△AMN=AMANsin45°，

S△AEF=AEAFsin45°，

∴==2，

∴S△AMN=2S△AEF．