Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1 ， 作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2 ， 作正方形A2B2C2C1 ， …按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为 ．

Answer 1

【答案】5×（ ）4032
【解析】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，

根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，

∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．

∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，

∴△BAA1∽△B1A1A2，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD= ，tan∠ADO= = ，

∵tan∠BAA1= =tan∠ADO，

∴BA1= AB= ，

∴CA1= + ，

同理，得：C1A2=（ + ）×（1+ ），

由正方形的面积公式，得：S1=（ ）2=5，

S2=（ ）2×（1+ ）2，

S3=（ ）2×（1+ ）4=5×（ ）4，

由此，可得S2017=（ ）2×（1+ ）2×2016=5×（ ）4032．

故答案为：5×（ ）4032．

首先证明△AA1B∽△A1A2B1，从而可得到∠BAA1=∠B1A1A2，然后利用勾股定理计算出正方形的边长，最后利用正方形的面积公式计算第一个正方形的面积，从中找出规律，然后依据规律可求出第n个正方形的面积.