Question

【题目】已知在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC于点C，过点C作直线EF∥AB，点D在直线EF上，连接BD，过点D作GD⊥BD，交直线AC于点H，连接BG.

（1）如图1所示，当点D在射线CF上，点H在射线AC上时，连接BH，过点D作MD⊥CD，交CB的延长线于点M. 求证：∠GBH+∠G=∠M；

（2）如图2所示，当点D在射线CE上，点H在射线CA上时，试判断并证明DH与BD之间的数量关系.

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）DH=BD.

【解析】分析：（1）如图1中，作DN⊥EM于N，DP⊥AC于P．只要证明四边形PCND是矩形，△DPH≌△DNB，推出DH=BD，推出△BDH是等腰直角三角形，由此即可解决问题；（2）如图2中，作DN⊥BC于N，DP⊥AC于P．只要证明四边形PCND是矩形，△DPH≌△DNB即可；

本题解析：

(1)证明：如图1，作DN⊥EM于N,DP⊥AC于P.

∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠A=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠A=∠DCB=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=DNC=∠DPC=90°, ∴四边形PCND是矩形，∴∠PDN=BDH=90°, ∴PDH=BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD, ∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠BHD=45°, ∵∠BHD=∠GBH+∠G, ∴∠GBH+∠G=45°, ∵DM⊥DC, ∴∠M=∠DCM=45°, ∴∠GBH+∠G=∠M.

(2)如图2，作DN⊥BC于N,DP⊥AC于P,

∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠BCA=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠BAC=∠DCN=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=∠DNC=∠DPC=90°, ∴四边形PCND是矩形，∴∠PDN=∠BDH=90°, ∴∠PDH=∠BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD.

点睛:本题考查了等腰直角三角形的性质.平行线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，能添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，是解本题的关键.